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:日本数学家称证明ABC猜想 论文几乎无人能懂

2012-10-29 09:26:27 来源: 南方周末(广州)
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倘若你在数学文献中看到一个以“ABC”命名的猜想——ABC猜想,千万不要以为那是一个“入门”级别的猜想。事实上,这一猜想在公众知名度方面或许尚处于“入门”阶段,以难度和地位而论却绝不是“入门”级别的。

日本数学家称证明ABC猜想 论文几乎无人能懂

由前三个英文字母拼合而成的“ABC”一词据说自十三世纪起便见诸文献,含义为“入门”。这些年随着英语在中国的流行,该词在中文世界里也夺得了

一席之地,出现在了很多图书的书名之中,大有跟中文词“入门”一较高下之势。不过,倘若你在数学文献中看到一个以“ABC”命名的猜想——ABC猜想,千万不要以为那是一个“入门”级别的猜想。事实上,这一猜想在公众知名度方面或许尚处于“入门”阶段,以难度和地位而论却绝不是“入门”级别的。

2012年9月初,包括《自然》、《科学》在内一些重量级学术刊物,以及包括《纽约时报》在内的许多著名媒体纷纷报道了有关ABC猜想的消息,使这一猜想着实风光了一番。

在本文中,我们将对这一并非“入门”级别的猜想做一个“入门”级别的介绍。

不是入门级猜想

ABC猜想是由英国数学家麦瑟尔和法国数学家厄斯特勒于二十世纪八十年代中期彼此独立地提出的。其名字乃是来自把猜想中涉及的三个数字称为A、B、C的做法,而非“入门”之意。

与数学猜想大家庭中的著名成员,如黎曼猜想、哥德巴赫猜想、孪生素数猜想,以及(已被证明了的)曾经的费马猜想、四色猜想等等相比,ABC猜想的 “资历”是很浅的(其它那些猜想都是百岁以上的“老前辈”),公众知名度也颇有不如,但以重要性而论,则除黎曼猜想外,上述其它几个猜想都得退居其后。

ABC猜想有一个初看起来并不奥妙的特点,就是将整数的加法性质(比如A+B=C)和乘法性质(比如素数概念——因为它是由乘法性质所定义的)交互在了一起。不过,数学家们早就知道,由这两种本身很简单的性质交互所能产生的复杂性是近乎无穷的。数论中许多表述极为浅显,却极难证明的猜想(或曾经的猜想),比如前面提到的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、费马猜想等都具有这种加法性质和乘法性质相交互的特性。

数论中一个很重要的分支——旨在研究整系数代数方程的整数解的所谓丢番图分析——更是整个分支都具有这一特性。丢番图分析的困难性是颇为出名的,著名德国数学家希尔伯特曾乐观地希望能找到其“一揽子”解决方案,可惜这个希望后来落了空,被证明是不可能实现的。与希尔伯特的乐观相反,美国哥伦比亚大学的数学家戈德菲尔德曾将丢番图分析比喻为飞蝇钓——那是发源于英国贵族的一种特殊的钓鱼手法,用甩出去的诱饵模拟飞蝇等昆虫的飞行姿态,以吸引凶猛的掠食性鱼类,特点是技巧高、难度大、成功率低,而且只能一条一条慢慢地钓(象征着丢番图分析只能一个一个问题慢慢地研究)。

但是,与交互了加法性质和乘法性质的其它猜想或问题不同的是,ABC猜想似乎处于某种中枢地位上,它的解决将直接导致一大类其它猜想或问题的解决。

拿丢番图分析来说,戈德菲尔德就表示,假如ABC猜想能被证明,丢番图分析将由飞蝇钓变为最强力(乃至野蛮)的炸药捕鱼,一炸就是一大片,因为ABC猜想能“将无穷多个丢番图方程转变为单一数学命题”。

这其中最引人注目的“战利品”将是曾作为猜想存在了三百多年,一度被《吉尼斯世界纪录》称为“最困难数学问题”的费马猜想。这个直到1995年才被英国数学家怀尔斯以超过100页的长篇论文所解决的猜想在ABC猜想成立的前提下,将只需不到一页的数学推理就能确立。其它很多长期悬而未决的数学猜想或问题也将被“一锅端”。这种与其它数学命题之间的紧密联系是衡量一个数学命题重要性的首要“考评”指标,ABC猜想在这方面无疑能得高分——或者用戈德菲尔德的话说,是“丢番图分析中最重要的未解决问题”,“是一种美丽”。

ABC猜想的重要性吸引了很多数学家的兴趣,但它的艰深迟滞了取得进展的步伐。与数学家们的努力平行,自2006年起,由荷兰莱顿大学数学系牵头,一些数学和计算机爱好者建立了一个名为ABC@Home的分布式计算系统,用以寻找ABC猜想所允许的那些反例。截至2012年9月,该系统已经找到了超过2300万个反例,而且还在以每天几万个的速度稳定增加着。

不过,与这一系统的著名“同行”——比如寻找外星智慧生物的SETI以及计算黎曼ζ函数非平凡零点的(现已关闭了的)ZetaGrid——不同的是,ABC@Home是既不可能证明,也不可能否证ABC猜想的(因为ABC猜想本就允许数量有限的反例)。从这个意义上讲,ABC@Home的建立更多地只是出于对具体反例——尤其是某些极端情形下的反例,比如数值最大的反例——的好奇。当然,具体反例积累多了,是否会衍生出有关反例分布的猜想,也是不无趣味的悬念。另外,ABC猜想还有一些拓展版本,比如对某些情形下的反例数目给出具体数值的版本,ABC@Home对那种版本原则上是有否证能力的。

望月新一其人

如前所述,2012年9月初,由于媒体的广泛报道,ABC猜想在短时间内风光了一番。促成这一风光的是日本数学家望月新一。2012年8月底,望月新一发表了由四篇长文组成的系列论文的第四篇,宣称证明了包括ABC猜想在内的若干重要猜想。这一宣称被一些媒体称为是能与1993年怀尔斯宣称证明费马猜想,以及2002年佩雷尔曼宣称证明庞加莱猜想相提并论的事件。

望月新一1969年3月29日出生于日本东京,16岁进入美国普林斯顿大学就读本科,三年后进入研究生院,师从著名德国数学家、1986年菲尔茨奖得主法尔廷斯,23岁(即1992年)获得数学博士学位。此后,他先是“海归”成了京都大学数理解析研究所的研究助理,几个月后又前往美国哈佛大学从事了近两年的研究,然后重返京都大学。2002年,33岁的望月新一成为了京都大学数理解析研究所的教授。望月新一的学术声誉颇佳,曾获得过日本学术奖章等荣誉。

在ABC猜想并不漫长的历史中,这并不是第一次有人宣称解决了这一猜想。2007年,法国数学家施皮罗就曾宣称过解决了ABC猜想。施皮罗的学术声誉不逊于望月新一,不仅是领域内的专家,其工作甚至间接促成了ABC猜想的提出。但是,人们很快就在他的证明中发现了漏洞。这种宣称一个重大数学猜想被证明,随后被发现漏洞的例子在数学史上比比皆是。因此,任何证明从宣称到公认,必须经过同行的严格检验。这一检验视证明的复杂程度而定,可长可短。对于望月新一的“粉丝”来说,恐怕得有长期等待的心理准备。

论文几乎无人能懂

望月新一那四篇论文的总页数超过了500页,几乎是怀尔斯证明费马猜想的论文长度的四倍!更糟糕的是,望月新一的证明采用了他自己发展起来的数学工具,这种工具据说是对以抽象和艰深著称的1966年菲尔茨奖得主格罗滕迪克的某些代数几何方法的推广,除他本人外,数学界并无第二人通晓。

就连研究方向与望月新一相近的英国剑桥大学的韩国数学家金明迥都表示,“我甚至无法对证明给出一个专家概述,因为我并不理解它”,“仅仅对局势有一个一般了解也得花费一段时间”。美国威斯康星大学的数学家艾伦伯格则表示阅读望月新一的论文“仿佛是在阅读外星人的东西”。2006年菲尔茨奖得主、澳大利亚数学家陶哲轩也表示“现在对这一证明有可能正确还是错误做出评断还为时过早”。

像望月新一那样宣称用自创的数学工具证明著名数学猜想的事例在数学界也是有先例的,2004年,美国普渡大学的数学教授布朗基宣称证明了著名的黎曼猜想,他所用的也是自创的数学工具。不过布朗基在数学界的声誉和口碑均极差,加之年事已高,其宣称遭到了数学界的冷淡对待。与之不同的是,望月新一却不仅有良好的学术声誉,精力和研究能力也尚处于巅峰期。用陶哲轩的话说,望月新一“与佩雷尔曼和怀尔斯类似”,“是一个多年来致力于解决重要问题,在领域内享有很高声誉的第一流数学家”。有鉴于此,数学界不仅对望月新一的证明给予了重视,对他自创的方法也表示了兴趣,比如美国斯坦福大学的数学家康拉德就表示 “激动人心之处不仅在于猜想有可能已被解决,而且在于他必须引入的技巧和洞见应该是解决未来数论问题的非常有力的工具”。戈德菲尔德也认为“望月新一的证明如果成立,将是二十一世纪数学最惊人的成就”。

在这种兴趣的驱动下,一些数学家已经开始对望月新一的证明展开检验与讨论,比如著名数学讨论网站MathOverflow就已出现了一些有金明迥、陶哲轩等世界一流数学家参与的认真讨论。

不过,检验过程何时才能完成,目前还不得而知,检验的结果如何,更是无从预料。证明得到公认固然是很多人乐意见到的,但一个长达五百多页的证明存在漏洞也是完全可能的,当年怀尔斯对费马猜想的“只有”一百多页的证明,就存在过漏洞,经过一年多的时间才得以弥补。

无论望月新一的证明是否成立,数学家们对ABC猜想本身的成立都抱有较为乐观的态度,这一方面是因为能因这一猜想的成立而得到证明的很多数学命题(比如如今被称为费马大定理的费马猜想)已经通过其它途径得到了证明,从而表明ABC猜想与数学的其它部分有很好的相容性。另一方面,ABC猜想还得到了一些启发性观点的支持,比如陶哲轩就从所谓的“概率启发式理由”出发,预期ABC猜想应该成立。

当然,信心和预期取代不了真正的证明。望月新一证明的命运将会如何?ABC猜想究竟被证明了没有?都将有待时间来回答。

董凌 本文来源:南方周末 作者:卢昌海 责任编辑:王晓易_NE0011
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